基礎から学ぶ制御工学-24

基礎から学ぶ制御工学

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5.5.2　ラウスの安定判別法

　システムの安定、不安定を調べるために、分母多項式を因数分解するなどして、解を求めることは、次数が高くなると困難となってきます。このため、安定判別を比較的簡単に求める方法として、ラウスの安定判別法とフルビッツの安定判別法を説明します。
　まず、ラウスの安定判別法について説明します。伝達関数を次式のようにします。
$G(s)=\dfrac{1}{s^5+2s^4+4s^3+5s^2+3s+2}$・・・(5.5.5)

　この伝達関数の分母多項式に注目します。
(1)条件１
分母多項式の係数が全て正である。
(2)条件2
　次に示すラウス数列が全て正である。

という、条件１、条件２が成立すると、安定であることの必要条件となる。（全ての場合において安定であるわけではない。）
ラウス表の行に同じ正の数をかけても、結果は変わらないので、これを用いて、分母をはらいます。
①$s^5$の行に1,4,3、$s^4$の行に2,5,2を配置します。

②$s^3$の計算には$s^4$の行のラウス数列の2を基点に考えます。2を分母にして、2×4-1×5=3を計算します。
次に、２列目の計算も、ラウス数列の2を基点に2を分母にして、2×3-1×2=4を計算します。

③行に同じ正の数をかけても結果は変わらないので、分母の2を同じ行にかけて、1列目を3、2列目を4とします。

④同様に$s^3$～$s^0$まで計算します。ここで、空白の箇所は0とします。

⑤１列目のラウス数列が全て正となることが分かります。

よって、条件１、条件２より、この伝達関数は安定であることが分かります。