GO-AHEADの日記

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基礎から学ぶ制御工学-12

基礎から学ぶ制御工学

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 3.3.2 主なラプラス変換

 

  ラプラス変換 ラプラス変換(元の関数)
(1) $\dfrac{1}{s}$ 1またはステップ入力
(2) $\dfrac{1}{s+a}$ $e^{-at}$
(3) $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ $t e^{-at}$
(4) $\dfrac{\omega^2}{s(s^2+\omega^2)}$ $2 \sin \dfrac{\omega}{2 t}=1-\cos \omega t$
(5) $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ $ \sin \omega t$
(6) $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ $ \cos \omega t$
(7) $\dfrac{s}{(s^2+a^2)(s^2+b^2)}$ $ \dfrac{\cos bt-cos at}{a^2-b^2}$

 

ラプラス変換表にある,元の関数からラプラス変換に変換してみましょう。

(1)$\dfrac{1}{s}$

$f(t)=1$のとき,$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-st} dt}$に代入すると
$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-st} dt}=\left[ -\dfrac{1}{s}e^{-st} \right]_ 0^{\infty}=0-\left(\dfrac{1}{s} \right)=\dfrac{1}{s}$・・・(3.2.1)

 

(2)$\dfrac{1}{s+a}$

$f(t)=e^{-at}$をラプラス変換の定義に従って計算すると、

$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-at} e^{-st} dt}=\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-(s+a)t} }$

$=\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}$

$ =0-\left( -\dfrac{1}{s+a}\right)=\dfrac{1}{s+a}$

 

(3)$\dfrac{1}{(s+a)^2}$
 $f(t)=t e^{-at}$をラプラス変換の定義に従って計算すると、

 $\displaystyle{\int_ 0^{\infty}t e^{-at} e^{-st} dt}=\displaystyle{\int_ 0^{\infty}t e^{-(s+a)t} }$

部分積分法を用いて
$=\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}+\dfrac{1}{s+a} \int_ 0^{\infty}e^{-(s+a)t}}$
ここで,
$t=0$のとき$t e^{-(s+a)t}=0$
$t=∞$のときロピタルの定理を使うと
$\displaystyle{\lim_{t \to \infty}t e^{-(s+a)t}}$

$=\displaystyle{\lim_{t \to \infty} \dfrac{t}{ e^{(s+a)t}} }$

$=\displaystyle{\lim_{t \to \infty} -\dfrac{1}{(s+a) e^{(s+a)t}} }=0$

よって,
 $\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}=0$

 この値を元の式に代入して

$=0+\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{(s+a)^2}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}$

$=\dfrac{1}{(s+a)^2}$
 

(5),(6)$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2},\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$,

$f(t)=\sin \omega t,f(t)=\cos \omega t$のとき

$f(t)=cos \omega t+ i \sin \omega t$・・・(3.2.10)

とおきます。このときiは虚数(電気回路では虚数はjを使いますがここではiを使いましょう。)ここで,オイラーの公式より,

$f(t)=cos \omega t+ i \sin \omega t=e^{i \omega t}$

とおけます。この式を使って,ラプラス変換しましょう。

$=\displaystyle{ \int_ 0^{\infty}e^{-(s-i \omega )t}=\left[-\dfrac{1}{s-i \omega} e^{-(s-i \omega )t} \right]_ 0^{\infty}=\dfrac{1}{s-i \omega}        } $

 分母から虚数を除くために分母,分子に共役な複素数をかけると

$=\dfrac{s+i \omega}{(s-i \omega)(s+i \omega)}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}+\dfrac{i \omega}{s^2+\omega^2}$

元の式を見てみると,実部が$\cos$,虚部が$\sin$となっており,この式からラプラス変換後も実部。虚部の関係は同じであると考えられるので,
$\sin,\cos$のラプラス変換は次式となります。

$L[\sin \omega t]=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

$L[\cos \omega t]=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$