基礎から学ぶ制御工学-12
基礎から学ぶ制御工学
amazon kindle版を出版しました。
3.3.2 主なラプラス変換表
ラプラス変換 | 逆ラプラス変換(元の関数) | |
---|---|---|
(1) | $\dfrac{1}{s}$ | 1またはステップ入力 |
(2) | $\dfrac{1}{s+a}$ | $e^{-at}$ |
(3) | $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $t e^{-at}$ |
(4) | $\dfrac{\omega^2}{s(s^2+\omega^2)}$ | $2 \sin \dfrac{\omega}{2 t}=1-\cos \omega t$ |
(5) | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | $ \sin \omega t$ |
(6) | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ | $ \cos \omega t$ |
(7) | $\dfrac{s}{(s^2+a^2)(s^2+b^2)}$ | $ \dfrac{\cos bt-cos at}{a^2-b^2}$ |
ラプラス変換表にある,元の関数からラプラス変換に変換してみましょう。
(1)$\dfrac{1}{s}$
$f(t)=1$のとき,$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-st} dt}$に代入すると
$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-st} dt}=\left[ -\dfrac{1}{s}e^{-st} \right]_ 0^{\infty}=0-\left(\dfrac{1}{s} \right)=\dfrac{1}{s}$・・・(3.2.1)
(2)$\dfrac{1}{s+a}$
$f(t)=e^{-at}$をラプラス変換の定義に従って計算すると、
$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-at} e^{-st} dt}=\displaystyle{\int_ 0^{\infty}e^{-(s+a)t} }$
$=\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}$
$ =0-\left( -\dfrac{1}{s+a}\right)=\dfrac{1}{s+a}$
(3)$\dfrac{1}{(s+a)^2}$
$f(t)=t e^{-at}$をラプラス変換の定義に従って計算すると、
$\displaystyle{\int_ 0^{\infty}t e^{-at} e^{-st} dt}=\displaystyle{\int_ 0^{\infty}t e^{-(s+a)t} }$
部分積分法を用いて
$=\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}+\dfrac{1}{s+a} \int_ 0^{\infty}e^{-(s+a)t}}$
ここで,
$t=0$のとき$t e^{-(s+a)t}=0$
$t=∞$のときロピタルの定理を使うと
$\displaystyle{\lim_{t \to \infty}t e^{-(s+a)t}}$
$=\displaystyle{\lim_{t \to \infty} \dfrac{t}{ e^{(s+a)t}} }$
$=\displaystyle{\lim_{t \to \infty} -\dfrac{1}{(s+a) e^{(s+a)t}} }=0$
よって,
$\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{s+a}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}=0$
この値を元の式に代入して
$=0+\displaystyle{\left[-\dfrac{1}{(s+a)^2}e^{-(s+a)t} \right]_ 0^{\infty}}$
$=\dfrac{1}{(s+a)^2}$
(5),(6)$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2},\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$,
$f(t)=\sin \omega t,f(t)=\cos \omega t$のとき
$f(t)=cos \omega t+ i \sin \omega t$・・・(3.2.10)
とおきます。このときiは虚数(電気回路では虚数はjを使いますがここではiを使いましょう。)ここで,オイラーの公式より,
$f(t)=cos \omega t+ i \sin \omega t=e^{i \omega t}$
とおけます。この式を使って,ラプラス変換しましょう。
$=\displaystyle{ \int_ 0^{\infty}e^{-(s-i \omega )t}=\left[-\dfrac{1}{s-i \omega} e^{-(s-i \omega )t} \right]_ 0^{\infty}=\dfrac{1}{s-i \omega} } $
$=\dfrac{s+i \omega}{(s-i \omega)(s+i \omega)}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}+\dfrac{i \omega}{s^2+\omega^2}$
元の式を見てみると,実部が$\cos$,虚部が$\sin$となっており,この式からラプラス変換後も実部。虚部の関係は同じであると考えられるので,
$\sin,\cos$のラプラス変換は次式となります。
$L[\sin \omega t]=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$L[\cos \omega t]=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$