GO-AHEADの日記

GO-AHEADで出版した書籍の紹介をします

基礎から学ぶ制御工学-20

基礎から学ぶ制御工学

amazon kindleを出版しました。


 3.7.3 例題2(振り子)

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 単振り子の運動方程式は、振り子の触れる角度$ \theta$、振り子の長さ$ L[m] $、重力加速度$ g[m/s^2]$とすると、次のように表されます。

$\dfrac{d^2 %theta}{dt}+\dfrac{g}{L}\sin %theta=0$

振り子の質量$m[kg]$には依存せず、重力加速度$g$と長さ$L$に依存します。

図のように、質量$ m[kg]$、振り子の長さ$ L[m]$、傾き$\theta [rad]$、速度$v[m/s]$とおくと、運動エネルギーは次式のようになります。
$T=\dfrac{1}{2} mv^2$・・・(3.7.16)

 ここで、速度は、$x$軸方向の速度と$y$軸方向の速度のベクトルの和になります。
$v^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2$・・・(3.7.17)
図から、
$\left \{ \begin{array}{l} x=L \sin \theta \\ y=-L \cos \theta \end{array}\right.$・・・(3.7.18)

より、これを時間微分すると、傾きθは時間関数と考えられるので、次式のように、x軸方向の速度とy軸方向の速度が計算できます。

$\left \{ \begin{array}{l} \dot{x}=L \dot{\theta} \cos \theta \\ \dot{y}=L \dot{\theta} \sin \theta \end{array}\right.$・・・(3.7.19)

式(3.7.16)、(3.7.17)より

$T=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$ 

$=\dfrac{1}{2}m(L^2 \dot{\theta}^2 \cos^2 \theta+L^2 \dot{\theta}^2 \sin^2 \theta)$ 

$=\dfrac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2( \cos^2 \theta+ \sin^2 \theta)$ 

$\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta=1$より、

$= \dfrac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2$ ・・・(3.7.20)

 

角度$\theta$のときの位置エネルギーは次式で表されます。
$U=-mg L \cos \theta $・・・(3.7.21)

よって、ラグラジアン

$L=T-U=\dfrac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2+mg L \cos \theta$

 

$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L_a}{\partial \dot{q_i}} \right)-\dfrac{\partial L_a}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial D}{\partial \dot{q_i}}=f_i$・・・(3.7.2)の第1項を計算すると、

 

$\dfrac{d}{dt}  \left\{\dfrac{\partial }{\partial \dot{\theta}}\left(  \dfrac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2+mg L \cos \theta \right) \right\}$

$=\dfrac{d}{dt} (m L^2 \dot{\theta})$ 

$=m L^2 \ddot{\theta}$

$=m L^2 \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}$

 

式(3.7.2)の第2項を計算すると、

$\dfrac{\partial }{\partial {\theta}}\left(  \dfrac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2+mg L \cos \theta \right)$

$=-mgL \sin \theta$・・・(3.7.23)

式(3.7.2)の第3項は、摩擦などを考えないので0となる。
$\dfrac{\partial D}{\partial \dot{\theta}}=0$・・・(3.7.24)

 

また、外部からの力fも加わらないとすると、ラグランジュの運動方程式は次式のようになります。

$m L^2 \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}+mgL \sin \theta=0$

$ \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}+\dfrac{g}{L} \sin \theta=0$・・・(3.7.25)

この式(3.7.25)と(3.7.15)は一致していることが分かります。