基礎から学ぶ制御工学-19

基礎から学ぶ制御工学

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　3.7　機械系の微分方程式例題
　3.7.1　ラグランジュの運動方程式の基本

　具体的な力学系のモデルによって検証します。比較的単純な構造の力学系は，力のつり合いから微分方程式を導出して運動方程式を求めます。複雑な構造の場合は微分方程式の導出は困難となります。このような場合にラグランジュの運動方程式を用いて式を導出します。
　ラグランジュの運動方程式は運動エネルギー$T$，位置エネルギー$U$，損失エネルギー$D$を次の表にしたがって求めます。

表3.7.1　ラグランジュの運動方程式

$ M $：質量，$J$：慣性モーメント，$k$：バネ係数，$c$：ダンパ係数または粘性摩擦係数，$x(t)$：位置変位，$\theta (t)$：角度変位，$h(t)$：高さ

これらの式から，ラグランジュの運動方程式は，
$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} \right)-\dfrac{\partial T}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial U}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial D}{\partial \dot{q_i}}=f_i$・・・(3.7.1)
$(i＝1,2,\dots, p)$

一般化座標：$q(t)=[q_1(t),\dots,q_p(t)]^T$
一般化力　：$f(t)=[f_1(t),\dots,f_p(t)]^T$

　一般化座標は$p$個の各質点における位置や角度であり，一般化力は各質点に外部から加わる力やトルクである。
　ラグランジアンを$L_a＝T－U$と定義すると，
$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L_a}{\partial \dot{q_i}} \right)-\dfrac{\partial L_a}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial D}{\partial \dot{q_i}}=f_i$・・・(3.7.2)

これらを、それぞれの項で計算して足し合わせることによって計算ができます。２変数の場合など数式として導くことが難しいと考えられる場合において、活用できます。