基礎から学ぶ制御工学-18

基礎から学ぶ制御工学

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　3.5.2　例題１

図のように，
・タンクへの流入量$y[m^3]$ 
・高さ$x[m]$
・タンクの断面積$A[m^2]$
・流出量$Q[m^3]$
・比例定数$B$
とします。

図3.5.2　タンクのモデル化

　タンクの水の高さの変化率は、流入する水の量$y[m^3]$と流出する水の量$Q[m^3]$から、次式のように計算できます。
$A \dfrac{dx}{dt}=y-Q=y-Bx$・・・(3.5.6)
$y=Bx+A \dfrac{dx}{dt}$・・・(3.5.7)

(1)微分方程式による解法（$t=0$のとき，$x=0$の場合）
式(3.5.7)を微分方程式の解法の変数分離によって解く。

$y-Bx=A \dfrac{dx}{dt}$
$(y-Bx)dt=A {dx}$

両辺を$-B$で割ると

$(x-\dfrac{1}{B}y)dt=-\dfrac{A}{B} {dx}$

$-\dfrac{B}{A}dt=\dfrac{1}{x-\dfrac{1}{B}y}dx$

両辺を積分します。

$\displaystyle{\int {\dfrac{1}{x-\dfrac{1}{B}y}dx}=-\dfrac{B}{A} \int dt}$

$\log  |{x-\dfrac{1}{B}y} |=-\dfrac{B}{A} t+C'$ 

$C'$：積分定数
ここで，指数関数の形にすると

$ |{x-\dfrac{1}{B}y} |=e^{-\frac{B}{A} t+C'}$ 

$C=\pm e^{C'}$とおくと、

$x-\dfrac{1}{B}y=Ce^{-\frac{B}{A} t}$

$x=\dfrac{1}{B}y+Ce^{-\frac{B}{A} t}$・・・(3.5.8)

ここで，初期条件を考えると$t=0$のとき，$x=0$とすると，

$C=-\dfrac{y}{B}$・・・(3.5.9)
これを，式(3.5.8)に代入すると
$x=\dfrac{y}{B} \left(1-e^{-\frac{B}{A} t} \right)$・・・(3.5.10)

　この結果からt→∞のとき，すなわちと$Bx=y$なり，流出量と流入量が等しくなる高さに収束します。