基礎から学ぶ制御工学-17

基礎から学ぶ制御工学

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　3.5　流体の微分方程式例題
　3.5.1　水位系の計算の基礎

(1)ベルヌーイの定理
　ベルヌーイの定理は水理系の基本的な法則で，流体の高さ，速度，圧力のエネルギーの和は一定であるという，エネルギー保存則であるといえます。
$\dfrac{p}{\rho g}+\dfrac{v^2}{2 g}+h=一定$・・・(3.5.1)

ここで，$p$：圧力，$\rho$ ：密度，$g$：重力加速度，$v$：速度，$h$：高さ

　この式の単位は$ｍ$で表し，次のように呼びます。
$\dfrac{p}{\rho g}$：圧力水頭，$\dfrac{v^2}{2 g}$：速度水頭，$h$：位置水頭

(2)トリチェリーの定理
　ベルヌーイの法則からダムやタンクから流出する水量を求めます。
図のように，タンクに入っている水の高さ$h[m]$として，タンク下部から水が出ている場合について考えます。このとき，出口の高さは考えなません。

図　3.5.1　トリチェリーの定理

・タンクの水面では
　圧力=0，速度=0なので，位置水頭だけとなります。
・また，タンク下部の水の出口では
　圧力=0，位置（高さ）=0となるので，速度水頭だけとなります。
よって，　ベルヌーイの定理から，
$h=\dfrac{v^2}{2 g}$・・・(3.5.2)
よって，速度は
$v=\sqrt{2 gh}$・・・(3.5.3)
この式は，トリチェリーの定理と呼びます。
タンク下部の出口の断面積を$S[m^2]$とすると，流出する水量$Q[m^3]$は次式で求めることができる。
$Q=vS=S \sqrt{2gh}$・・・(3.5.4)

(3)トリチェリーの定理の近似
　水位系のモデル化の際に，平方根が微分方程式中にあると計算が難しいので，トリチェリーの定理の近似を行います。高さ$h$がある程度大きい場合は，流速$v$と高さ$h$の関係は直線で近似でき，次式のようにおくことができます。
$Q=Bh$ ・・・(3.5.5)
ここで，$B$：比例定数