基礎から学ぶ制御工学-10
基礎から学ぶ制御工学
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ラプラス変換は微分方程式を代数的に解いていく方法で,ラプラス変換表を用いることによって比較的簡単に解くことができる方法である。
時間$t>0$で定義された関数$f(t)$に対して,$s$を複素数として,
$F(s)=\displaystyle{\int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt}$・・・(3.1.1)
の積分で定義される$s$の関数$F(s)$を$f(t)$のラプラス変換という。
$L[]$:ラプラス変換の記号とします。
(1)線形性
$L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)$・・・(3.1.2)
(2)微分
$L[f'(t)]=sF(s)-f(0)$・・・(3.1.3)
$L[f^{(2)} (t)]=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0)$・・・(3.1.4)
$L[f^{(n)} (t)]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{n-1}(0)$・・・(3.1.5)
(3)積分
$L \left[ \displaystyle{\int_0^{t} f(x) dx}\right]=\dfrac{1}{s} F(s)$・・・(3.1.6)
(4)推移
$f(t-a)=0 (0<t<a)$
ただし,$L[f(t-a)]=e^{-as}F(s)$ ・・・(3.1.7)
(5)初期値定理
$\displaystyle{\lim_{t \to 0}f(t)=\lim_{s \to \infty}s F(s)}$・・・(3.1.8)
(6)最終値定理
$\displaystyle{\lim_{t \to \infty}f(t)=\lim_{s \to 0}s F(s)}$・・・(3.1.9)